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ADN CIRCULAR Y MATEMÁTICA TOPOLÓGICA

Casi todas las propiedades físicas, químicas y biológicas del ADN (comportamiento hidrodinámico, densidad, actividad de replicación y transcripción,enzimología, etc.) resultan afectadas por el fenómeno de circularidad y el estado relajado o superenrollado del ADN circular. La definición clara y precisa del superenrollamiento representa, entonces, una necesidad vinculada con la cabal comprensión de las propiedades del ADN. Dos ramas de la matemática ayudan a resolver los problemas que el tema propone. Una de ellas, la geometría diferencial, aplica los métodos de cálculo diferencial al estudio de curvas y superficies. La otra, la topología, estudia las propiedades de aquellas estructuras que a través de deformaciones pueden intertransformarse.

Varios investigadores han utilizado sistemas matemáticos para el estudio del superenrollamiento. De todas las ecuaciones empleadas, la que mejor describe el fenómeno es la siguiente:

                                 L_k = T_W ± W_r

donde L_k representa las veces que una de las cadenas de ADN se envuelve sobre la otra. Para el caso de los ADN con giro en sentido horario (formas A y B) L_k tiene valor positivo, mientras que en el ADN con giro en sentido antihorario (forma Z) su valor es negativo. A T_W se lo puede definir como el número de vueltas completas (360°) de la espiral plectonémica o hélice del ADN. Finalmente, W_r representa la cantidad de vueltas de sobreenrollamiento existentes en una molécula de ADN circular. En forma opuesta a L_k , W_r tiene valor negativo cuando la dirección de las vueltas de sobreenrollamiento es en sentido horario, y positivo en el caso de las vueltas en sentido antihorario.

En un ADN lineal o en un ADN circular relajado no existe superenrollamiento y por lo tanto W_r = O y L_k = T_W. Sin embargo, pueden existir situaciones diferentes que ilustraremos con los siguientes ejemplos.

Supongamos una cadena lineal de ADN B tipo Watson y Crick de 160 pares debases de longitud y recordemos que en este caso cada diez pares de bases la hélice gira una vuelta completa. Resulta entonces ?y así puede verse en el caso A de la figura? que Lk es igual a 16 y L_k igual a T_W. Si ahora fijamos el extremo izquierdo de la cadena y le damos al extremo derecho siete vueltas en el sentido de las agujas del reloj, se producirá una disminución simultánea de L_k y de T_W que adquirirán el valor 9 (caso B). Debido al a elasticidad del ADN, la molécula intentará retornar a su estado de reposo inicial con valores de 16 tanto para L_k como para T_W y en consecuencia, si se desea mantenerla en el estado al que se la ha forzado, será necesario el empleo de un vínculo externo. En el paso siguiente, unimos los dos extremos del ADN y lo transformamos en circular (caso C). Para mantenerlo en forma de círculo relajado se deberá seguir aplicando la acción externa a fin de contrarrestar la tendencia de la molécula de ADN a recuperar los valores originales de L_k y T_W. Si a continuación liberamos a la molécula y le permitimos que adopte una configuración compatible con una situación de reposo, sucederá lo ilustrado por el caso D; como la molécula de ADN es ahora circular, la cantidad de veces que una de las cadenas se envuelve sobre la otra no puede modificarse y en consecuencia L_k se mantiene constante. Por el contrario, el número de vueltas de la doble hélice vuelve a su situación original y por consiguiente T_W aumenta. En tales condiciones es necesario un W_r negativo con el fin de mantener iguales los dos componentes de la ecuación L_k = T_W ± W_r . El resultado final será un ADN circular superenrollado con un número de vueltas a la derecha correspondiente a W_r = -7 (quede claro al lector que en D se ha omitido el dibujo detallado de las nueve vueltas de doble hélice que sí se muestran en C).

Lo expuesto anteriormente subraya el hecho de que en un ADN lineal pueden cambiar el L_k y el T_W conjuntamente, mientras que en un ADN circular el L_k es inmodificable y sólo pueden acontecer variaciones del T_W y el W_r. De acuerdo a esto analicemos dos casos en los cuales se parte de un ADN circular superenrollado similar al ilustrado en el caso D de la figura. Si este ADN se somete a una deshidratación moderada, se producirá un cambio de la forma B a la A. En tales condiciones se necesitarán 11 pares de bases para cada giro completo de la espiral plectonémica de ADN. Dado que el ADN ilustrado en la figura cuenta con 160 pares de bases, el T_W será 160 / 11 = 14,5; teniendo en cuenta que el L_k es inmodificable, el W_r deberá disminuir su negatividad de 7 a 5,5 y en consecuencia se perderán 1,5 vueltas desuperenrollamiento. Como segundo ejemplo imaginemos que una sección de ADN B de unos 20 pares debases se transforma en ADN Z, de tal manera que cada vuelta de la espiral plectonémica se efectúa en sentido antihorario. En tales condiciones, el T_W disminuye dos unidades (una unidad correspondiente a la vuelta positiva de espiral, perdida al pasar de B a Z; la segunda unidad originada en el signo negativo adjudicado ala vuelta de espiral en sentido antihorario).Simultáneamente el W_r disminuye su negatividad en dos unidades, y concomitantemente se pierden dos vueltas de super enrollamiento del ADN circular. En los dos ejemplos, la disminución del superenrollamientofue más o menos equivalente. Sin embargo, en el primero resultó necesario modificar la conformación espacial de los 160 pares de bases que,forman el ADN circular, mientras que en el segundo bastó la modificación de solo 20 pares de bases para obtener un efecto algo superior al del primer ejemplo. Vemos entonces que la transformación de B a Z de pequeños segmentos de ADN puede provocar marcadas modificaciones en los niveles de superenrollamiento circular.

Lo expuesto anteriormente subraya el hecho de que en un ADN lineal pueden cambiar el Lk y el TW conjuntamente, mientras que en un ADN circular el Lk es inmodificable y sólo pueden acontecer variaciones del TW y el Wr. De acuerdo a esto analicemos dos casos en los cuales se parte de un ADN circular superenrollado similar al ilustrado en el caso D de la figura. Si este ADN se somete a una deshidratación moderada, se producirá un cambio de la forma B a la A. En tales condiciones se necesitarán 11 pares de bases para cada giro completo de la espiral plectonémica de ADN. Dado que el ADN ilustrado en la figura cuenta con 160 pares de bases, el TW será 160 / 11 = 14,5; teniendo en cuenta que el Lk es inmodificable, el Wr deberá disminuir su negatividad de 7 a 5,5 y en consecuencia se perderán 1,5 vueltas desuperenrollamiento. Como segundo ejemplo imaginemos que una sección de ADN B de unos 20 pares debases se transforma en ADN Z, de tal manera que cada vuelta de la espiral plectonémica se efectúa en sentido antihorario. En tales condiciones, el TW disminuye dos unidades (una unidad correspondiente a la vuelta positiva de espiral, perdida al pasar de B a Z; la segunda unidad originada en el signo negativo adjudicado ala vuelta de espiral en sentido antihorario).Simultáneamente el Wr disminuye su negatividad en dos unidades, y concomitantemente se pierden dos vueltas de super enrollamiento del ADN circular. En los dos ejemplos, la disminución del superenrollamientofue más o menos equivalente. Sin embargo, en el primero resultó necesario modificar la conformación espacial de los 160 pares de bases que,forman el ADN circular, mientras que en el segundo bastó la modificación de solo 20 pares de bases para obtener un efecto algo superior al del primer ejemplo. Vemos entonces que la transformación de B a Z de pequeños segmentos de ADN puede provocar marcadas modificaciones en los niveles de superenrollamiento circular.